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Una volta chiarita la differenza tra usufrutto e nuda proprietà è il caso di svolgere un esempio di calcolo di nuda proprietà e ammortamento comprensivo di calcolo dell’identità di Makeham.

Esempio calcolo dell’identità di Makeham (esercizio svolto):

Poniamo quindi il caso di dover redigere il piano di ammortamento avendo un tasso tecnico del 12%, un debito iniziale di 10000€ e delle rate di importo (3000; 6000; 3566,08) da pagarsi ciascuna rispettivamente al primo anno, secondo anno, terzo anno. Si calcoli l’usufrutto, la nuda proprietà e l’identità di Makeham immediatamente dopo il pagamento della prima rata sapendo che il tasso di valutazione è pari al 7%.

Per prima cosa si provvede alla scrittura di un piano di ammortamento:

Calcoliamo quindi l’usufrutto dopo il pagamento della prima rata:

Usufrutto = 984/(1+0,07) + 392,08/(1+0,07)^2 = 919,626 + 342,457 = 1262,08 €

Nuda proprietà = 5016/(1+0,07) + 3184/(1+0,07)^2 = 4687,85 + 2781,0289 = 7468,88 €

Identità di Makeham:

7468,88 = 8200 – [(0,07/0,12) x 1262,08]

7468,88 = 8200 – [736,2133]

Otteniamo in quest’esempio all’incirca 7464 €, che si avvicina largamente al valore della nuda proprietà di 7468,88 (probabilmente a causa di approssimazioni nel calcolo).

Definizione di usufrutto: l’usufrutto è il valore attuale dell’insieme delle quote interesse a venire nell’ammortamento; quindi si calcolerà sommando il valore attuale di tutte le future quote di interesse.

Definizione di nuda proprietà: la nuda proprietà è il valore attuale che presentano l’insieme delle quote capitale a venire nell’ammortamento; il calcolo quindi avviene tramite il conteggio in sommatoria dei valori attuali delle quote capitale future.

Qual’è il legame tra usufrutto e nuda proprietà?

A unire usufrutto e nuda proprietà in una relazione è la cosìdetta “Identità di Makeham“, scondo cui:

Nuda proprietà = Debito residuo al periodo N – [(Tasso di valutazione/Tasso tecnico) x Usufrutto]


Nell’intraprendere la scrittura degli ammortamenti dobbiamo ricordarci di rispettare le condizioni di chiusura finanziaria e di chiusura elementare.

Qual’è la differenza fra i due tipi di chiusura?

Chiusura finanziaria: la chiusura finanziaria implica che il valore attuale dei flussi di rate rispetto al tempo da pagare durante l’ammortamento siano pari al debito iniziale.

Chiusura elementare: con il susseguirsi delle rate e del conseguente pagamento delle quote capitale il debito iniziale dovrà ridursi di ciascuna quota capitale pagata secondo il rapporto

Debito iniziale = Debito residuo – Sommatoria delle quote capitale pagate

Secondo la condizione di chiusura elementare quindi al termine del pagamento delle rate dell’ammortamento il debito dovrà estinguersi e pertanto il debito residuo dovrà essere pari alla somma delle quote capitale pagate, ovvero pari a 0.

Chiusura finanziaria e chiusura elementare sono la stessa cosa?

Osservando meglio le due condizioni di chiusura e applicando la condizione di scindibilità del regime finanziario possiamo renderci conto che le due condizioni di chiusura sono fra loro equivalenti.

Un’eccezione a questa equivalenza si pone però nel caso in cui si parli di condizione di chiusura in regimi come quello di sconto elementare dove si renderà necessaria la chiarificazione del significato effettivo di chiusura finanziaria.

L’equivalenza tra le due condizioni di chiusura permette di costruire piani di ammortamento o con la fissazione delle rate o con la fissazione delle quote capitale.

Esempio calcolo struttura per scadenza dei tassi nei bot

by Appunti di economia on

Come fare a calcolare la struttura dei tassi di interesse (con interesse composto) e quindi a ricavare i rendimenti composti a scadenza di ciascun titolo se anziché avere un titolo con durata pari all’anno abbiamo un titolo con durata pari solamente ad alcuni giorni?

In realtà la formula vera è propria non cambia, ed è uguale alla precedente usata per calcolare la struttura dei tassi di interesse di uno zcb:

La differenza vera e propria qual’è? Che il tempo andrà calcolato usando frazioni di anno, solitamente per mezzo della convenzione actual 360 oppure per mezzo della actual 365.

Proviamo quindi a calcolare la struttura dei tassi di scadenza di un titolo come il buono ordinario del tesoro, che quindi ha una durata minore dell’anno.

Esempio calcolo struttura per scadenza dei tassi nei bot

Poniamo il caso ad esempio che il nostro bot, quindi una tipologia di titolo finanziario che come lo zcb è del tipo zero-coupon, abbia valore nominale pari a 100, e che abbia prezzo attuale di 98,90; poniamo inoltre che sia stato emesso il 20/10/19 e che scada nel 31/10/2019.

Quale sarà la struttura dei tassi a scadenza del bot?

Intanto per prima cosa calcoliamo i giorni rimanenti al titolo: in totale si tratta di 11 giorni, quindi usando la convenzione actual 360 possiamo dire = 11/360 = 0,0380555.

Applichiamo allora la formula riportata di sopra per la struttura a scadenza dei tassi: [(100/98,90)^(1/0,0380555)] – 1 = [(1,0111)^(26,2774)] – 1 = 1,3373 – 1 = 0,3373.

Nel nostro esempio quindi la struttura per scadenza dei tassi del bot sarebbe pari al 33,73%.

Formula per calcolare la struttura dei tassi di scadenza per ZCB

by Appunti di economia on

Prima di passare alla formula di calcolo della struttura dei tassi composti degli zero coupon bond, chiamata anche col nome di “zero rate”, è meglio dare una definizione della stessa: si tratta dei rendimenti composti degli ZCB ottenibili alla scadenza dei titoli.

La formula per il loro calcolo corrisponde alla seguente

La curva della struttura dei tassi composti degli ZCB prende il nome inglese di “zero curve”.

Prima della riforma Fornero il datore di lavoro non era obbligato a indicare nella lettera i motivi del licenziamento; era piuttosto il lavoratore a farne richiesta. Con la riforma Fornero invece è stato introdotto l’obbligo di inserire i motivi del licenziamento nella lettera di licenziamento al dipendente.

I tempi di impugnazione per il dipendente devono rispettare delle specifiche tempistiche: deve anzitutto entro 60 giorni dal momento della ricezione del licenziamento impugnare il licenziamento stesso tramite una lettera, inserendo quali siano i motivi per cui lo ritiene illegittimo.

Si tratta di un atto extragiudiziale; tuttavia alla lettera il datore di lavoro può rispondere o meno.