Come calcolare la duration di un portafoglio

by Appunti di economia on

Quando si hanno delle rendite che presentino la stessa scadenza è possibile calcolare la duration del portafoglio, ovvero la media, che deve essere pesata per il suo valore attuale, delle duration delle rendite componenti il portafoglio stesso.

Ad esempio, dato il portafoglio composto unicamente dalla rendita A e dalla rendita B, se la duration della rendita A è 2,80 mentre la duration della rendita B è 3,70 allora la duration di portafoglio sarà:

(2,80 + 3,70)/2 = 3,25

Come calcolare i pesi della duration?

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Può capitare negli esercizi di matematica finanziaria che vengano richiesti nei problemi i calcoli dei singoli pesi della duration dei titoli.

Brevemente si tratta di uno dei dati più utilizzati nei problemi e conoscerne il significato permette certamente di non rimanere spiazzati davanti agli esami, perdendosi in un bicchiere d’acqua.

Dunque, premettendo che la duration di una rendita è data dalla formula:

I pesi non sono altro che:

(1/V) * [(singola rata/(1+i)^n]

Ad esempio nel caso in cui si abbia la rendita dell’esercizio precedentemente proposto sul calcolo della duration, di cui vengono riportati sotto i dati:

Rata/Tempo -> (1000,1000,1000)/(1,2,3)

si sa che il tasso in vigore è 9% mentre il valore attuale della rendita è pari al valore attuale delle rate rispetto al tasso in vigore e al tempo prospettato quindi:

1000/(1,09) + [1000/(1,09^2)] + [1000/(1,09^3)] =

= 917,43 + 841,6799 + 772,182 = 2531,29 €

Quindi il valore attuale della rendita è 2531,29€

Allora il peso1 della duration della rendita sarà pari a:

(1/2531,29)[1000/(1,09)] = 0,36243..

mentre il peso2 della duration della rendita sarà pari a:

(1/2531,29)[1000/(1,09^2)] = (1/2531,29)[1000/1,1881] = 0,332501…

Esempio calcolo Duration di Macaulay (esempio in una rendita)

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Une sempio semplice per comprendere il calcolo della duration di Macaulay può essere il seguente; data la rendita:

Rata/Tempo -> (1000,1000,1000)/(1,2,3)

si sa che il tasso in vigore è 9% mentre il valore attuale della rendita è pari al valore attuale delle rate rispetto al tasso in vigore e al tempo prospettato quindi:

1000/(1,09) + [1000/(1,09^2)] + [1000/(1,09^3)] =

= 917,43 + 841,6799 + 772,182 = 2531,29 €

Quindi il valore attuale della rendita è 2531,29€

Invece la duration di Macaulay come si calcola?

La formula da seguire per il calcolo è la seguente:

Dove tn è il periodo n, Rn è la rata del periodo n

Quindi sostituendo i dati nella rendita di questo esempio otterremo:

Duration = 1/2531,29 * { [(1/1,09)(1000)(1)] + [(1/1,1881) (1000) (2)] + [ (1/1,295) (1000) (3)]} = 1/2531,29 * { [(917,43)] + [1683,36] + [2316,602]} = 1/2531,29 * {4917,392} = 1,9426

La duration, che si esprime in anni, sarà pari a 1,9426 anni

Come otteniamo invece la duration modificata? Piuttosto semplice, basterà moltiplicare la duration normale appena ottenuta per (1+i), pertanto:

Duration modificata = 1,9426 * (1,09) = 2,11748


Una volta chiarita la differenza tra usufrutto e nuda proprietà è il caso di svolgere un esempio di calcolo di nuda proprietà e ammortamento comprensivo di calcolo dell’identità di Makeham.

Esempio calcolo dell’identità di Makeham (esercizio svolto):

Poniamo quindi il caso di dover redigere il piano di ammortamento avendo un tasso tecnico del 12%, un debito iniziale di 10000€ e delle rate di importo (3000; 6000; 3566,08) da pagarsi ciascuna rispettivamente al primo anno, secondo anno, terzo anno. Si calcoli l’usufrutto, la nuda proprietà e l’identità di Makeham immediatamente dopo il pagamento della prima rata sapendo che il tasso di valutazione è pari al 7%.

Per prima cosa si provvede alla scrittura di un piano di ammortamento:

Calcoliamo quindi l’usufrutto dopo il pagamento della prima rata:

Usufrutto = 984/(1+0,07) + 392,08/(1+0,07)^2 = 919,626 + 342,457 = 1262,08 €

Nuda proprietà = 5016/(1+0,07) + 3184/(1+0,07)^2 = 4687,85 + 2781,0289 = 7468,88 €

Identità di Makeham:

7468,88 = 8200 – [(0,07/0,12) x 1262,08]

7468,88 = 8200 – [736,2133]

Otteniamo in quest’esempio all’incirca 7464 €, che si avvicina largamente al valore della nuda proprietà di 7468,88 (probabilmente a causa di approssimazioni nel calcolo).

Definizione di usufrutto: l’usufrutto è il valore attuale dell’insieme delle quote interesse a venire nell’ammortamento; quindi si calcolerà sommando il valore attuale di tutte le future quote di interesse.

Definizione di nuda proprietà: la nuda proprietà è il valore attuale che presentano l’insieme delle quote capitale a venire nell’ammortamento; il calcolo quindi avviene tramite il conteggio in sommatoria dei valori attuali delle quote capitale future.

Qual’è il legame tra usufrutto e nuda proprietà?

A unire usufrutto e nuda proprietà in una relazione è la cosìdetta “Identità di Makeham“, scondo cui:

Nuda proprietà = Debito residuo al periodo N – [(Tasso di valutazione/Tasso tecnico) x Usufrutto]


Nell’intraprendere la scrittura degli ammortamenti dobbiamo ricordarci di rispettare le condizioni di chiusura finanziaria e di chiusura elementare.

Qual’è la differenza fra i due tipi di chiusura?

Chiusura finanziaria: la chiusura finanziaria implica che il valore attuale dei flussi di rate rispetto al tempo da pagare durante l’ammortamento siano pari al debito iniziale.

Chiusura elementare: con il susseguirsi delle rate e del conseguente pagamento delle quote capitale il debito iniziale dovrà ridursi di ciascuna quota capitale pagata secondo il rapporto

Debito iniziale = Debito residuo – Sommatoria delle quote capitale pagate

Secondo la condizione di chiusura elementare quindi al termine del pagamento delle rate dell’ammortamento il debito dovrà estinguersi e pertanto il debito residuo dovrà essere pari alla somma delle quote capitale pagate, ovvero pari a 0.

Chiusura finanziaria e chiusura elementare sono la stessa cosa?

Osservando meglio le due condizioni di chiusura e applicando la condizione di scindibilità del regime finanziario possiamo renderci conto che le due condizioni di chiusura sono fra loro equivalenti.

Un’eccezione a questa equivalenza si pone però nel caso in cui si parli di condizione di chiusura in regimi come quello di sconto elementare dove si renderà necessaria la chiarificazione del significato effettivo di chiusura finanziaria.

L’equivalenza tra le due condizioni di chiusura permette di costruire piani di ammortamento o con la fissazione delle rate o con la fissazione delle quote capitale.

Esempio calcolo struttura per scadenza dei tassi nei bot

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Come fare a calcolare la struttura dei tassi di interesse (con interesse composto) e quindi a ricavare i rendimenti composti a scadenza di ciascun titolo se anziché avere un titolo con durata pari all’anno abbiamo un titolo con durata pari solamente ad alcuni giorni?

In realtà la formula vera è propria non cambia, ed è uguale alla precedente usata per calcolare la struttura dei tassi di interesse di uno zcb:

La differenza vera e propria qual’è? Che il tempo andrà calcolato usando frazioni di anno, solitamente per mezzo della convenzione actual 360 oppure per mezzo della actual 365.

Proviamo quindi a calcolare la struttura dei tassi di scadenza di un titolo come il buono ordinario del tesoro, che quindi ha una durata minore dell’anno.

Esempio calcolo struttura per scadenza dei tassi nei bot

Poniamo il caso ad esempio che il nostro bot, quindi una tipologia di titolo finanziario che come lo zcb è del tipo zero-coupon, abbia valore nominale pari a 100, e che abbia prezzo attuale di 98,90; poniamo inoltre che sia stato emesso il 20/10/19 e che scada nel 31/10/2019.

Quale sarà la struttura dei tassi a scadenza del bot?

Intanto per prima cosa calcoliamo i giorni rimanenti al titolo: in totale si tratta di 11 giorni, quindi usando la convenzione actual 360 possiamo dire = 11/360 = 0,0380555.

Applichiamo allora la formula riportata di sopra per la struttura a scadenza dei tassi: [(100/98,90)^(1/0,0380555)] – 1 = [(1,0111)^(26,2774)] – 1 = 1,3373 – 1 = 0,3373.

Nel nostro esempio quindi la struttura per scadenza dei tassi del bot sarebbe pari al 33,73%.

Formula per calcolare la struttura dei tassi di scadenza per ZCB

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Prima di passare alla formula di calcolo della struttura dei tassi composti degli zero coupon bond, chiamata anche col nome di “zero rate”, è meglio dare una definizione della stessa: si tratta dei rendimenti composti degli ZCB ottenibili alla scadenza dei titoli.

La formula per il loro calcolo corrisponde alla seguente

La curva della struttura dei tassi composti degli ZCB prende il nome inglese di “zero curve”.

Prima della riforma Fornero il datore di lavoro non era obbligato a indicare nella lettera i motivi del licenziamento; era piuttosto il lavoratore a farne richiesta. Con la riforma Fornero invece è stato introdotto l’obbligo di inserire i motivi del licenziamento nella lettera di licenziamento al dipendente.

I tempi di impugnazione per il dipendente devono rispettare delle specifiche tempistiche: deve anzitutto entro 60 giorni dal momento della ricezione del licenziamento impugnare il licenziamento stesso tramite una lettera, inserendo quali siano i motivi per cui lo ritiene illegittimo.

Si tratta di un atto extragiudiziale; tuttavia alla lettera il datore di lavoro può rispondere o meno.

Quali possono essere la cause di estinzione del rapporto di lavoro?

1) Il recesso unilaterlale del lavoratore (quindi le dimissioni)
2) Il recesso del datore (quindi licenziamento)
3) La scadenza del contratto
4) Il muoto consenso (risoluzione consensuale)
5) L’impossibilità sopravvenuta della prestazione o forza maggiore
6) Altre ipotesi derivanti dalla legge
7) Morte del prestatore di lavoro

Il lavoratore ha la possibilità di recedere dal rapporto lavorativo senza obbligo di esporre un preavviso nel caso vi sia una giusta causa o una grave inadempienza da parte del datore di lavoro, violazione che non permette la proseuzione dei rapporti (neanche in maniera provvisoria).

Attenzione però: spetterà al lavoratore l’onere del fornire la prova della giusta causa; esempi possono essere molestie sessuali, omessi versamenti di contributi previsenziali, mancato pagamento delle retribuzioni, trasformazione in peius delle mansioni lavorative.
Spesso in questi casi si hanno radicali mutamenti delle mansioni, oppure molestie sessuali o gravi mobbing da parte del datore di lavoro; a questo punto il lavoratore potrà rassegnare le dimissioni per giusta causa e successivamente in giudizio richiedere i danni. In caso di dimissioni per giusta causa senza contestazione da parte del datore di lavoro si potrebbe avere accesso alla naspi.

Già con la riforma fornero le dimissioni presentate durante i primi 3 anni di vita del bambino devono essere convalidate dal servizio ispettivo. Già dal 2012 non bastava più quindi presentare una lettera di dimissioni al datore di lavoro ma occorreva convalidare in sede protetta; in seguito si ha una modifica tramite il dls 151/2015 (jobs act) tramite cui si introduce una procedura telematica per la presentazione delle dimissioni, che devono essere presentate quindi in via telematica. Attualmente quindi il lavoratore che si voglia dimettere può quindi o recarsi da un patronato manifestando la volontà di volersi dimettere oppure direttamente tramite un pin richiedibile all’inps accedendo direttamente da un servizio contenuto all’interno del portale dell’offerta formativa e incontro tra domanda e offerta del lavoro gestito dal ministero del lavoro; ad ultimo vi è la possibilità di presentare le dimissioni tramite l’applicazione di dimissioni volontarie che permette tramite lo “speed” (codice identità digitale per determinati servizi online). Secondo molti la cosa più comoda è andare direttamente al patronato a chiedere.
Queste modalità telematiche non si applicano al lavoro domestico.

Nel caso in cui invece sia il datore di lavoro a licenziare il lavoratore abbiamo più fonti normative, come ad esempio l’articolo 2118 e 2119 del codice civile, la legge del 15 luglio 1966 n°604, la legge 18 del 1990.
Nell’articolo 2118 del codice civile viene contemplata la modalità di recesso, che però riguarda più che altro i contratti e che non può essere di norma utilizzata in svantaggio nel raporto di lavoro da parte del lavoratore.
A questo punto nasce un dibattito giurisprudenziale in cui si arriva infine al divieto del licenziamento immotivato. Si configura così una necessità di difesa del lavoratore che preveda sanzioni in caso di illegittimo licenziamento del lavoratore. Quindi tra il 1950 e gli anni 1960 vengono inseriti dei limiti nell’ambito del licenziamento; altre evoluzioni si avranno con la legge 604 del 1966 dove viene stabilita esplicitamente l’illegittimità del licenziamento senza giustificato motivo. Tuttavia tale legge rimaneva solo per le aziende con più di 35 dipendenti; a questo punto però si ha il subentro dell’articolo 18 dello statuto dei lavoratori, dove viene stabilito il reintegramento del dipendente in caso di ingiustificato licenziamento; il dipendente rientra in questo caso in azienda come se non ne fosse mai uscito. Con la legge 108 del 1990 si interviene a una correzione del tiro rendendo più operative le disposizioni ed estendendo l’obbligo di riassunzione o il riconoscimento di un danno quando si avvia un licenziamento senza giustificato motivo. Da un lato viene comunque prevista la possibilità di tutela anche per il lavoratore licenziato nelle imprese medio piccole, nella riassunzione (con meno di 15 dipendenti) e nella reintegrazione (con >15 dipendenti).
Le ipotesi di recesso libero da parte del datore di lavoro rimangono ristrette solo in determinati ambiti, come ad esempio per i dirigenti. Per quanto riguarda i dirigenti non si applica la disciplina che giustifica il licenziamento; non si applica perché la legge lo prevede soltanto in riferimento agli operai, impegati e quadri. Senza il riferimento normativo per i dirigenti quindi si applica il 118 dove si prevede la libertà di recedere salvo preavviso; ad ogni modo comunque i contratti collettivi hanno spesso introdotto la giusta motivazione di licenziamento anche nel caso di dirigente. Si dovrà così comunque definire una “giustificatezza”.

NOTA: L’articolo 18 tuttavia è cambiato a seguito del jobs act (vedi wikipedia).

La giusta causa è prevista dall’articolo 2119 del codice civile.

Si può comunque recedere durante il periodo di prova se previsto (vedi articolo 2096 del codice civile).


 

Le nozioni di sopra potrebbero avere qualche inesattezza, essendo appunti. Nel caso dovessi trovare errori o inesattezze o aggiornamenti da fare puoi lasciare un commento di sotto per segnalare il problema.